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②使用自带的软件商店

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③使用下载资源

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对于“算”一词给精确的定不是一件易事，有些意义相的同义语就是一些他的名词它们（有）会给出不多同样东西，例 "法则"" 技巧”“程序”有“方法等等都是种同义语也可以给一些例子如长乘法就是小学学的把两正整数相的竖式乘。然而，然非形式解释和恰的例子对什么是算给出了很的感觉，算法一词所深藏的想却经历一个很长演化历程直得到 20 世纪才得到了令满意的形定义，而于算法的念，直到今还在演。算盘家算法家回关于乘法例子，有点是显然：怎样把个数相乘表示这些的方法极地影响了法的具体法。为了明白这点试着把两罗马数字 CXLVII 和 XXIX 相乘，但不先把它们成等价的进数字 147 和 29。这件事既难弄白，明白以后进行算也极其时间，而就可以解何以留存今的罗马国关于乘的材料极零散。记制可以是 " 累加的 "，如罗马记数法C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示从 L 中减去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，两个 I 放在 V 的右方，表示要它们加到 V 上，所以是 7。把所有以的解释“加”起来就是罗马学的 147。记数制度也可朱蛾进位的，我们今天用的那样如果是进的，可以用一个或个基底。很长的时中，进行算可以使一种计算具 "算盘（abacus）"。这些计算具可以表一定基底的进位制数。例如如果以 10 为基底、则一个记物可以表 1 个单位、或 10。或者 100 等等，视它是放在一横行或列而定。照精确的则移动这标记物，可以进行术四则运。中国的盘就是 abacus 的一种。到 12 世纪，阿伯数学著被翻译为丁文以后十进制就欧洲流行来了。这进位制特适合于算运算，并引导到许新的计算法。这些法就通称算法（algoritmus），而与在算上用标记进行计算区别。虽数字符号就是数码来自印度的实践，后来才为拉伯人所，现在这数码却叫阿拉伯数．算法（algorithm）的字源却是拉伯文，是阿拉伯学家阿尔花拉子米名字的变。花拉子是现在已的最古老数学书的者，这一作名为 《通过补全还原做计的纲要》al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后来就变成了代数”（algebra）一词。有限性女英已经看到算法”一在中世纪指以整数十进制表为基础的算程序。是到了 17 世纪，在达朗贝主编的《科全书》，算法一被赋予了广泛的意，不只用算术，还于关于代方法以及他的计算序，诸如 "积分学的算法"" 正弦的算 " 等等。算法这词又逐渐被用来表任意的具精确规则系统的计程序。最，随着计机的作用来越大，限性的重性被充分识到了，本质的要是，这个程在有限间以后就停止，而出结果。以就得到下面的朴的定义：个算法就有限多个则的集合用以对数有限的数进行操作而在有限步以后产结果。注，在这里直强调有性，在写算法时的限性，以在执行算时的有限。上面的述算不上在经典意下的数学义。我们会看到，它进一步式化是重的。但是们现在暂也就满足这个 "定义" 了，而且来看下数学中算法的一经典例子三个历史的例子算具有一种们尚未提的特性：代，也就简单程序反复执行为了看清代的重要，我们再次来看一长乘法这例子，这一个对任大小的正数都适用方法。数变得越大程序也就长。但是关紧要的，方法是同样的”如果会把个三位数乘，也就把两个 137 位的数字相乘而不必再学什么新原理，理在于长乘的方法里包含了大的仔细构好的小得的任务的复执行，如把两个位数相乘九九表。们将会看，迭代在们所要讨的算法中了重要作。欧几里算法：迭欧几里得法是说明法本质的好也是最用的例子这个算法以追溯到元前 3 世纪。欧里得用它计算两个整数的最公约数（gcd）。当我们最开遇到两个整数 a 和 b 的最大公约时，它是义为一个整数，而同为 a 和 b 的因数。然，为了很目的，定它为具有下两个性的唯一的数 d 更好。这两性质就是首先，d 是 a 和 b 的一个因数；次，如果 c 是 a 和 b 的另一个数，则 d 可以被 c 所整除。欧几里的《几何本》卷 VII 的前两个命题出了求 d 的方法，其中第一命题如下"给定了两个不相等数、从较的一数不地减去较的一数，果余下的位，都不量度前数直到余下数为一单为止，这，原来的为互质。" 换句话说，如果辗相减得到数 1，则 gcd 为 1。这时，就说来的两个互质（或为素数）辗转相减现在我们一般地描欧几里得法，它是于以下两观察的：1）如果 a=b，则 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公约数，当且仅它也是 a-b 和 b 的公约数。现在要求 a 和 b 的 gcd，而且设 a≥b。如果 a=b，则观察（1）告诉我，gcd 就是 b。若不然，察（2）告诉我们，果求 a-b 和 b 的 gcd 也会得到同样的案。现在 a_1 是 a-b 和 b 中较大的个，而 b_1 则为其中较小一个，然再求两数 gcd。不过，现两数中较的一个， a_1，小于原来数中较大一个，即 a。这样我们就可以上面的程再重复一：若 a_1=b_1，则 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，把 a_1 换成 a_1-b_1，再来组织 a_1-b_1 和 b_1，总之，大的一个放在前面然后再继下去，这叫做 " 辗转相减 "。为了使这个程序够进行下，还有一观察是需的，这就下面的关正整数的个基本事，有时称良序原理严格下降正整数序 a_0 > a1 > a2 >… 必为有限序列因为上面迭代程序好产生了个严格下序列，这迭代最终定会停止这就意味在某一点必有 a_k=b_k，而这个共值就是 a 和 b 的 gcd。欧几里得算法的程图欧几得除法通对于欧几得算法的述与此稍不同。可应用一种复杂的程，称为欧里得除法也就是带除法），可以大大少算法的数，这种法也称为转相除法这个程序基本事实：若 a 和 b 是两个正整，则必存唯一的整 q 和 r，使得数 q 称为商，而 r 称为余数。上面的点说明（1）和（2）现在要代若 r=0，则 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 与 b 和 r 的 gcd 是相同的。这一次在第一步用（b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，则还要第二步，用（r，r_1）来代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余，所以 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良原理，即这个程序过有限步一定停止而最后一非零的余就是 a 和 b 的 gcd。不难看到这两种方，就求 gcd 而言是等价的但就算法言则有很区别。例，设 a=103 438，b=37。如果用辗转相法，就要 103 438 中累次减去 37，一直到余下的数小于 37 为止。这个差数 103438 除以 37 的余数是一的，而如用第二种法，一次可以得到。这样，用第二种法的理由在于用累减法来求法的余数非常低效的。效率的收益在践上是很要的，第种方法给的是多项时间算法而第一种法所需的是指数长时间。推欧几里得法可以推到许多其背景下，要有加法减法和乘的概念就。例如它一个变体可以用于斯整数环就是形如 a＋ bi，而其中 a，b 为整数的复所成的环它也可以于系数为数的多项环中（就而论，系在任意域也行）。有一个要，就是要够定义带除法的类物，有了一点以后算法就与整数情况算法基本相同了。如下面的题：设 A 和 B 是两个任多项式，且 B 不是零多项、则必存两个多项 Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次数小于 B 的次数。正欧几里得《几何原》中提到那样，也以对于一数（a，b）当 a 和 b 不一定是整时实行这程序。容验证，当仅当比 a / b 是有理数，这个程会停下来这个观点导到连分的概念。 17 世纪以前，有特别地究过它，是其中的想根源可追溯到阿米德。阿米德计算 π 的方法：逼近和限性圆周和圆的直的比值是个常数，自从 18 世纪以来就记作 π。现在我来看一看基米德怎在公元前 3 世纪就得到了这比值的经的近似值 22/7。若在圆内一个内接正多边形其顶点都圆周上）又作其外的正多边（其边都圆周的切），再计这些多边的周长，会得到 x 的下界与上界，因圆的周长定大于任内接多边的周长，小于任意切多边形周长。阿米德从正边形开始然后，每把多边形边数加倍得到了越越精确的下界。他到九十六形为止，到了π 的逼近这个程中显然及迭代。是称它为个算法对对？严格说，它不一个算法不论取多边的多边，所得到仅是 π 的近似值所以这个程不是有的。然而们确实得了一个可近似计算 π 到任意精确度的法。例如如果想得 π 的一个准确到数十位的似值，经有限多步后，这个法会给出个我们想的近似值重要的是这个过程收敛的。是说，重的在于由代得出之可以任意接近于 π。这个方的几何来可以用来明这个收性，而 1609 年德国人作了 202 边形（基本上用鹿蜀米德的方），得到 π 的精确到小数 35 位的近似值。然，逼近 π 的算法与阿基米德算两个正数的 gcd 的算法有一个明的区别。欧几里得样的算法常称为离算法，而用来计算整数值的值算法相立。牛顿-拉夫森方：递推公1670 年前后、顿提出了个求方程根的方法而且就方 x^3-2x-5=0 解释了他的方法他的解释下面的一观察开始根 x 近似地等于 2。于是他写出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了个关于 p 的方程。这个新方算出来是为 x 接近于 2，所以 p 很小，而就略去了 p^3 和 6p^2 来估计 p。这就给了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。这当然是一个准解，但是给了牛顿于根的新更好的近值：x=2.1。然后牛顿就重这个过程令 x=2.1＋q，代入原方以后又给了一个关 q 的方程，近似解这个方，又把他近似解精化了，于得到 q 的估计为-0.0054，所以 x 的下一个近似值 2.0946。尽管如此，我怎么能确这个过程收敛于 x 呢？让我们更仔细考察这个法。切线收敛性牛的方法可从几何上函数 f 的图像来释，虽然顿本人并有这样做f（x）=0 的每一个根 x 都对应于数 y=f（x）的曲线和 x 轴的一个点。如果根 x 的一个近似 a 开始，而且和面做的一，设 p=x- a，于是可以 a+p 代替 x 而得到一新的函数 g（p），也就是说原点（0，0）有效地移到了（a，0）处。然后把 p 的所有高次幂都略，只留下数项和线项，这样得到了函 g 的最佳的线性近 —— 从几何上，这就是 g 在点（0，g（0））处的线。这样对于 p 所得到的似值就是数 y 在点（0，g（0））处的切线与 x 轴的交点。再在坐标上加个 a，也就是让原回到原来（0，0）处，这样 a＋p 就给出了 f 的根的新近似值。就是牛顿方法称为线法的原。牛顿方从上图可看到，再一次切线逼近，如曲线 y=f（x）与 x 轴的交点在 a 点以及 f 在点（a，f（a））处的线与 x 轴的交点即上图中横坐标为 a+p 的点，即根近似值）间，则第次的近似（即 a＋p＋q）肯定比第一的近似值 a＋p 好（这里称 a 为根的零次近似。回到牛的例子，以看到牛选取 a=2 并不是上面所说情况。但从下一个似值 2.1 开始，以下所有近似值就是这个情了。从几上看，如点（a，f（a））位于 x 轴的上方，且 y=f（x）的曲线在凸部 x 轴相交，或者（a，f（a））在 x 轴的下方，而且 y=f（x）曲线在部与 x 轴相交，会出现这有利的情。初始的近（即零近似）的择显然是重要的，且提出了妙的未曾到的问题如果我们虑复多项的复根，就更加清了。牛顿方法很容适应这个广泛的背。设 z 是一个复项式的复，而 z_0 是初始的逼近，是牛顿方将给出一序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收敛于 z，也可能收敛。我定义根 z 的吸引区域为这茈鱼初始逼近 z_0 的集合，使所得到的列确实收于 z，并且记这个域为 A（z）。怎样来决定 A（z）呢？第一个问个问题的是凯莱，间是 1879 年。他注意到对于二次项式，这问题是很易的，但次数为 3 或者更大时，问题很困难了例如多项 z^2-1 的根 ±1 的吸引区域分是复平面以铅直轴界的两个平面，但 z^3-1 的三个根 1，w，w^2 的相应的引区域就极复杂的合。这些合是由儒亚在 1918 年描述的，而在称为分集合。递公式牛顿法的每一段都会产一个新方。但是拉森指出实上并无必。他就特的例子给在每一步可以使用单一一个式。但是的基本的察可以一地适用，出可以用每一个情的一般公，而这个式用切线解释就可容易得出事实上，线 y=f（x）在 x 坐标为 a 处的切线方程它与 x 轴的交点横坐标是 a-f（a）/f'（a）。我们现在所诸怀牛顿-拉夫森方法就指的这个式。我们一个初始近 a_0=a 开始再用这个推公式得这样就得一个逼近序列，在情况下，就是前面的 z_0，z_1，z_2，…。作为一例子，考函数 f（x）=x^2-c。这时，牛顿法就给出 c 的平方根根号 c 的一串近似值，孟翼公式现在了在上面一般公式把 f 换成 x^2-c 即得。这个近平方根的法，公元 1 世纪的亚历山大亚的海伦已经知道本文来自信公众号老胡说科 （ID：LaohuSci），作者：我是老�

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